미래의 수학교육

이광복(Do! Math 수학교육 연구소 소장,

단국대 수학과 명예교수)

1. 수학은 수를 연구하는 학문이 아니다.

음악은 소리(sound)를 연구하는 학문이 아니다. 만약 소리를 연구하는 학문이 음악이라고 한다면 소리를 만들어내는 사람들, 이를테면 음향효과에 종사하는 사람들이 가장 훌륭한 음악가로 보아야 할 것이다.

색체(colour)를 연구하는 학문이 결코 미술이 아니다. 만약 색체를 다루는 것이 미술이라고 한다면, 염색 공장의 직공들이 훌륭한 미술가라고 보아야 할 것이다.    수학도 이와 마찬가지이다. 수(number)를 연구하는 학문이 수학이 아니다. 만약 수를 잘 다루는 것이 수학이라고 한다면, 매일 수를 다루는 은행 직원이나 많은 돈을 계산하는 시장의 도매상 주인들이나, 하루 종일 수와 씨름하는 증권회사 직원들이 모두 훌륭한 수학자라고 보아야 할 것이다.

소리나 색체는 음악이나 미술에서 택하고 있는 표현의 한 수단일 뿐이다. 이와 마찬가지로 수(number)도 수학에서 택하고 있는 표현의 한 수단일 뿐이다. 그럼에도 불구하고 많은 사람들이 수 자체를 수학이라고 보기 때문에. 계산을 잘 하거나 방정식을 잘 푸는 사람이나 도형을 잘 그리는 사람을 ‘수학을 잘 하는 사람’이라고 잘 못보는 듯 하다.

입력

출력

언어 기호 소리  그림

사고

심상

사람은 사고의 동물이다. 그래서 눈, 귀 등의 감각기관을 통해 얻어진 정보가 뇌신경에 전달되면 그것은 하나의 형상, 즉 심상(心像)을 만들게 되는데 이것이 사고이다. 이 때의 심상은 매우 구체적일 수도 있으며, 뜬구름 같은 허망한 상상일 수도 있다. 여하간 그 심상이나 상상을 두뇌 밖으로 도출하게 되는 데, 도출되는 형식이 소리일 수도 있으며 약속된 기호일 수도 있으며 그림일 수도 있으며 복잡한 몸짓일 수도 있다. 그 방법에 따라, 그 사고 또는 심상을 음악, 미술, 수학 등이라고 말한다. 그러므로 숫자 5 또는 방정식   등은 사고를 통해 심상이 이루어진 다음에 일어나는 2차적인 것 들이다. 즉, 말이나 기호들은 사고를 통해 출력된 수단일 뿐, 그것을 사고의 본질이라 할 수는 없다. 사고와 심상이 일어나지 않는 한 그것은 모두 무의미한 것들이다.

이런 의미에서 수학에서의 학습 대상은 수나 방정식 등의 기호가 아니고 그 이전에 필연적으로 선행되는 사고와 심상이다.

9        5

예 1)  다음 중 어떤 수가 더 큰가?

이것은 초등학교 학생으로부터 대학생에 이르기까지 혼란을 주는 질문이다. 시신경을 통해 보이는 기호, 즉 <숫자(numeral)>를 중시한다면 5는 9보다 크며, 5 와 9라는 기호로 표현되기 이전의 두뇌에 존재했던 사고 상의 심상, 즉 <수(number)>를 중시한다면 9가 5보다 크다. 그러면 수학에서 다루는 대상은 무엇인가?

오른 쪽의 식 < 5+9=14 > 는 <숫자 5>와 <숫자 9>의 합이 <숫자 15>가 된다는 뜻인가? 아니면 <수 5>와 <수 9>의 합이 <수 14>가 된다는 뜻인가? 대상은 매우 단순한 것이지만 수학이라는 학문을 이해하기 위해서는 매우 기초적이고 중요한 질문이다.

숫자는 가시적 대상이며, 수는 비가시적 대상이다. 즉, 수는 눈으로 보거나 만지거나 할 수 없으며, 색깔도 냄새도 없는 순수한 사유(思惟)로 가능한 추상적 대상(abstraction)일 뿐이다. 수학에서 다루는 모든 대상은 모두 추상적 대상이다. 수학은 사고 또는 심상을 학습의 대상으로 할뿐, 종이 위에 그려진 숫자나 식이나 그림들을 다루는 것은 아니다. 심상을 출력하여 나타낸 가시적(visible) 또는 가청적(audible)인 기호나 언어는 모두 불완전한 것들이다. 그러므로 오른 쪽 그림과 같이 불완전한 그림을 보고 원과 정사각형이라고 하는 것은 그것으로부터 본래의 형상을 사고하기 때문이다. 그러므로 원이나 정사각형은 사고로만 가능한 추상적인 대상일 뿐, 그것을 완전한 기호나 언어로 나타낼 수는 없으며 나타내어진 것은 모두 불완전한 기호에 지나지 않는다. 즉, 가짜이다. 이것이 기호나 언어의 불완전성(imperfection, incompleteness)이다. 그러므로 기호나 언어 자체를 그 실체로 보는 것은 참으로 어리석은 일이다.

이런 관점에서 보면 현재의 초중등학교의 수학 교육은 많은 반성을 거쳐 재고되어져야 한다. 즉, 계산이나 방정식 풀이에만 열중하는 기능적 훈련은 수학 교육으로서는 무의미한 활동이 아닐 수 없다.

예 2) 한 변의 길이가 10cm 인 정사각형 ABCD 가 한 변의 길이가 6인 정사각형 APQR과 그림과 같이 점 A를 공유하고 30도의 각도로 놓여져 있다고 하자. 이 때 선분DR 과 선분PB 는 서로 같음을 증명하여라.

이것은 중학교 과정에서 흔히 다루는 문제이다.

A

D

P

Q

R

B

C

30°

보통 이 증명은 다음과 같이 된다.

△APB와 △ARD에서

AP=AR,

AB=AD,

∠PAB=∠RAD

∴ △APB≡△ARD

∴  PB = DR

이상의 증명은 이미 이 문제의 환경에 존재하고 있는 내면적인 요소를 추출하여 외연적으로 들어내 보인(demonstration) 것이다.

지금까지의 수학 학습에서는 이 과정을 반복 연습하여, 이 문제가 시험에 출제되면 일사분란하게 이상과 같이 진술되기 까지 훈련을 거듭하는 것이 보통이다. 즉, 기능적 훈련이며 주로 기억에 의존하게 된다.

여기서, 이 증명의 과정을 다음과 같이 분석하여 보도록 하자.

1) 주어진 요소

길이 : 10cm, 6cm

점   : A, B, C, D  P, R, Q

각   : ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA,

∠RAP, ∠APQ, ∠PQR, ∠QRQ,

∠APB, ∠ABP, ∠ARD, ∠ADR

A

P

B

R

D

∠BAR

선분 : AB, BC, CD, DA, AP, PQ, QR, RA,

PB, RD

2) 증명의 과정에서 전혀 사용되지 않은 요소는 밑 줄 친 부분이다.

3) 그러므로 밑 줄 친 부분은 이 증명에서 전혀 불필요한 요소이다.

4) 그러면 이상의 문제는 오른 쪽 위의 그림과 같은 문제와 동형(同型, homeomorphic)이다.

5) 오른 쪽 그림에서 ∠PAB =∠RAD 는 ∠PAR =∠DAB이면 충분하므로 꼭 90°이어야 할 필요는 없다.

이상에 의하면, 버려야 할 정보와 꼭 선택하여야 할 정보가 구별된다. 불필요한 정보를 버리게 되면, 다음과 같이 예 2)의 문제와 동형인 새로운 문제를 만들어 낼 수 있게 된다. 이와 같은 힘이 통찰력이요 창의력이다.

A

D

P

Q

R

B

C

60°

이렇게 증명의 학습에서는 이상과 같이 외연적으로 들어난 증명(demonstration)의 내면을 분석적 방법으로 들여다 본(proof) 것이다.

바로 이와 같은 학습이 증명에서, 기억 주의적 방법으로부터 탈출하여 창조주의적 사고 중심의 수학 본래의 학습으로 회귀하는 방법이다. 수학교육에서의 증명은 미증명의 정리를 처음으로 증명하는 것이 아니라, 이미 증명된 과정을 재경험하는 행위를 통해 스스로의 창조능력을 향상하는 데에 있다.

2. 미래의 수학교육

미국의 유명한 한 작가이자 화가인 폴 호건(Paul Horgan)은

존재하지 않는 것을 상상할 수 없다면 새로운 것을 만들어낼 수 없으며, 자신만의 세계를 창조해내지 못하면 다른 사람이 묘사하고 있는 세계에 머무를 수밖에 없다.

고 했다. 창조성을 육성해야 하는 모든 교육, 특히 수학교육의 방향을 암시해 주는 말이다.

존재하지 않은 것을 상상할 수 있는 능력이 창조력(creative power)이며, 자신만의 세계를 만들어내는 특성이 바로 개개인이 가지는 개성(individuality)이다. 사람이란 처음부터 서로 다르듯이 그 창조 역시 서로 달라야 하며, 그러려면 남의 도움을 받지 않고 스스로 끊임없이 새로운 것을 사고하여야 가능하다.

오늘까지는 수많은 정보를 습득하고 받아드려야 하는 시대이지만, 미래는 감당할 수 없을 정도로 쏟아지는 정보로부터 불필요한 정보를 오히려 파기하는 힘이 필요한 시대가 된다. 그리고 미래에 필요한 정보나 지식을 모두 다 기억한다는 것은 불가능하다. 그러므로 미래는 기억으로부터 해방되어 자기에게 필요한 지식을 능동적으로 스스로 독특하게 개성적으로 창조하지 않으면 안 된다. 그러므로 미래는 가르치는 사람과 배우는 사람이 서로 다른 것이 아니라 자기가 자기를 가르치고 배우지 않으면 안 될 것이다. 이것이 바로 자기교육(self teaching and learning)이다. 따라서 앞으로는 이미 결정해 놓은 과정에 따라 기계적으로 공식에 따라 처리하는 학습을 지양하고 다음과 같은 문제들을 자기교육력에 의하여 다루어야 할 것이다.

예 3) 2에서 16 까지의 정수로부터 몇 개의 수를 골라내고, 그 골라낸 수가 어떤 수들인지 써 보아라.

예를 들면, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 를 선택하였다면

이들은 홀수이다.

3에 차례로 2를 더한 수이다.

.......................

예상되는 응답은 다음과 같다.

(1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ( 짝수 )

(2) 2, 3, 5, 7, 11  ( 素數, prime number )

(3) 2, 3, 4, 6, 12  ( 12의 약수 )

(4) 3, 5, 15  ( 15의 약수 )

(5) 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14  ( 84의 약수 )

(6) 3, 6, 9, 12, 15  ( 3의 배수 )

(7) 5, 10, 15  ( 5의 배수 )

(8) 7, 14  ( 7의 배수 )

(9) 2, 4, 8, 16  (  )

(10) 4, 9, 16 (  )

(11) 2, 5, 8, 11,14 ()

.......................................

이상은 문제의 제기도 그 풀이도 스스로가 결정하는 과제이다. 즉, 자기가 자기를 가르치고 배우는 활동을 해야 하는 과제이다. 스스로의 창의성이나 개성이 없으면 학습할 수 없는 과제이다. 그러므로 이 과제에서는 어느 것을 하나의 정답으로 이미 결정해 두어서는 안되며, 학생들의 자유로운 사고를 자극하여야 할 것이다.

사회는 정보사회를 거쳐 지시기반의 사회로 변해가고 있다. 그러므로 미래 사회는 쏟아지는 정보로부터 불필요한 것은 버리고 필요한 정보를 선택하는 판단력과 통찰력이 필요하며, 그로부터 내게 필요한 지식은 내가 만들어내는 능동적, 개성적, 창의적 능력, 즉 자기교육력이 필요한 시대이다.

3. 수학과 사회의 관계

수학은 사회와 동떨어진 유리(唯離)된 공간이 아니다. 그것은 모든 학문이 다 그러하다. 일반 사회의 대상, 현상, 또는 사건들이 수학적 관찰을 통하여 수학적 대상으로 변환되고(사과 세 개가 수 3으로 바뀌고), 변환된 수학적 대상들 사의의 법칙에 따라 처리되어(정의, 정리에 따라 처리), 그 결과(답)가 다시 일반 사회의 대상, 현상, 또는 사건들로 되 돌려지게(응용)된다. 이를테면, 다음과 같이 된다.

수학 세계

수학화

응용화

두 사람이 수집한 빈 병은 모두 120개인데, 한 사람은 다른 사람보다 10병을 더 수집했다.

일상 세계

한 사람은 70병, 다른 사람은 50병을 수집했다.

그러므로 사회와 수학은 끊임없이 순환적으로 교류하는 밀접한 관계에 있고 모두 동형인 구조를 가지고 있다.

예 4) 원이란 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합이라고 정의하고 그것을 기호로 오른쪽 그림과 같이 나타낸다.

이것은 초등학교로부터 우리가 죽을 때까지 기억하고 있는 수학적 지식이다. 그리고 원이라고 하는 것은 항상 그림과 같은 둥근 모양의 것으로 우리의 기억에는 각인되어 있는 것이다.

O

P

여기서  <거리가 같다>라고 할 때의 <거리(distance)>에 대한 규정을 우리는 오른 쪽과 같이 하고 있고, 그것을 바탕으로 하면 원의 그림은 위의 것과 같이 된다.

그런데 정의(definition)라고 하는 개념은 영원불멸의 진리, 즉 옳음(true)은 아니며 다만 규정(agrement, regulation) 또는 약속(promise)일뿐이다. 여기에 시공간을 부여하면 하나의 규범(norm, normative agrement)이 된다. 그러므로 정의란 절대적이 아니므로 얼마든지 변경할 수 있다는 것이다. 그래서 Bertrand Russel 은

O

P

Mathematics is free.

라고 했다.

대학에서 공부한 것처럼 거리를 오른 쪽의 그림과 같이  정의하여 보자

그러면 원의 모양은 어떻게 되겠는가?

O

거리를 그림에서와 같이 정의한다면, 원은 원의 정의에 의하여 그림과 같은 나란한 직석의 모양이 될 것이다.

이상은 중학교 정도이면 가능한 학습이다. 즉, 정의에 대한 규범적 성격을 분명히 하고 경직된 기억으로부터 자유롭게 탈출시켜 새로운 것을 창조하는 경험을 쌓도록 하여 창조성을 길러야 할 것이다.

예, 5) (1) 두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라고 한다.

(2) 두 각의 크기가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라고 한다.

정의는 절대성이 없으므로, 이등변삼각형의 정의는 위의 어느 것으로 하여도 무방하다. 만약 (1)을 정의(definition)로 택하면 (2)은 정리(theorem)가 되어 증명의 대상이 되며, 바꾸어서 (2)를 정의로 택하면 (1)은 정리가 되어 증명의 대상이 된다. 이와 같은 불가분의 관계를 인식하지 못하면,

이등변 삼각형이란 두 변의 길이가 같고, 두 각의 크기가 같은 삼각형이다.

라고 하는 무순된 정의를 내리게 된다. 이상은 이등변삼각형을 배우는 초기에는 나타나지 않으나, 이등변삼각형 성질을 배우고 난 다음에 일어나는 매우 흔한 현상이다. 이는 각 명제 사의의 관계에 대한 사고나 심상과는 관계없이 주어진 언어나 기호만을 무조건 암기로 기억하는 학습에서 나타나는 현상이다.

이와 같은 학생들은 평소 아버지께서

< 오늘 숙제는 오늘 내로 모두 마치도록 하여라.>

라는 말씀에 이어서,

국어 숙제도 해야 합니까?

수학 숙제도 해야 합니까?

밤 12시 까지 하면 됩니까?

라는 불필요한 질문을 하는 사람이 될 것이다.

따라서 정의 학습은 지금과 같은 인지적(認知的, cognitive) 개념뿐만 아니라 정의적(情意的, affective) 개념을 형성하는 학습까지 나아가야 할 것이다.

수학에서의 정의는 인간이 만든 하나의 약속이라는 통속적 의미로서 절대성은 없으나, 일방적이건 쌍방적이건 이미 이루어 진 약속은 같은 범주 속에서는 반드시 지켜져야 하는 당위성을 가지고 있다. 그래서 꼭 1 + 1 = 2 이어야 할 절대성은 없으나 일단 그렇게정 의하였으므로 일반대수학에서 이 약속은 지키고 있는 것이다.

도로에서 빨간 신호등은 건너서는 안 된다고 하는 하나의 약속이므로 공동사회에서 반드시 지켜야 할 민주시민의 한 규범이다. 이와 같은 약속의 규범성을 수학 교육에서는 정의교육을 통하여 길러주어야 하는 것이다. 그 규범을 변경하지 않는 한(거리에 대한 정의를 바꾸지 않는 한) 이 약속에 대한 어떤 불평도 할 수 없으며, 그 약속의 과정에 내가 참여하지 않았을 뿐만 아니라 찬성의 편에 서지 않았다고 해서 나와는 무관하다 할 수 없는 것이다. 모든 교통 법규가 그러하며, 헌법이 그러하며, 교칙이나 개인적 약속 또한 그러하다. 만약 수학시험에 출제된 대상의 어려운 정의는 다 기억하여 좋은 점수를 받은 학생이 사회생활에서 각종 규칙이나 질서를 지키지 않는다면, 그는 수학 교육을 받은 아무런 효과가 없다고 보아야 할 것이다. 즉, 교육이 그 학생의 행동을 변화시키지 못한 셈이 된다. 즉, 수학과 사회를 서로 유리 적으로 보고 독립적으로 학습하였기 때문인 것이다.

우리나라의 현재 교육과정의 구성에서 밝히고 있는 “홍익인간의 이념 아래 민주 시민 의식을 기초로 공동체의 발전에 공헌하는 사람”을 추구하는 인간상이라고 하는 관점에서 보면, 수학에서의 정의는 헌법 또는 일상생활에서 필요한 모든 규칙이나 규범에 대한 한 수학적 모델이 되며 일상생활에서 필요한 모든 규칙이나 규범은 수학의 정의에 대한 사회적 모델이 된다. 이 때, 전인교육을 위해서는 정의에 대한 학습은 그 사회적 모델로의 이행과 실천에 최종 목표를 두어야 하며, 사회적 규칙이나 규범은 수학의 정의에 대한 이해를 위해 훌륭한 생활적 모델, 즉 학습 소재로 활용하여야 한다. 즉, 원초적이건 공리적이건 규정한 엄격한 수학의 정의와 그 정의의 적용을 모델로 하여 사회적으로 보편화 된 법규나 규정의 엄격성과 그 법규와 규칙에 대한 실행의식을 고취하여야 할 것이며 또, 사회적으로 보편화 된 엄격한 규칙이나 법규를 소재로 하여 수학의 정의가 가지는 엄격성 또는 공리성을 이해시켜야 할 것이다. 그것은 수학의 정의와 사회적 규범은 수학적 용어를 빌리면 동형사상(同型寫像, homeomorphism)이기 때문이다.

미래에는 우리가 감당할 수 없을 정도의 많은 정보가 폭팔적으로 쏟아지게 된다. 그래서 우리는 지금부터 불필요한 정보를 파기하고 필요한 정보를 선택하는 판단력과 통찰력을 길러야 하며, 내가 필요한 지식은 나 스스로 독창적으로 생산하는 개성적 자기교육력을 기르는데에 온 힘을 쏟아야 할 것이다.

지금도 인터넷은 기존의 모든 경계를 허물어트리고 있다. 시장, 교육, 문화, 전통, 민족, 화폐, ... 등등 학문의 영역까지도 하나의 세계로 통일해 가고 있다.

우리의 후손들에게 이러한 미래에 적응할 수 있는 능력이 무엇이며 또 그것을 어떻게 길러주어야 할 것인가에 대한 고민은 오늘을 사는 이 세대의 사회적 책임이 아닐 수 없다.